Iz e-ELEKTROTEHNIKA plus
(Primerjava redakcij)
m (1 revision) |
|||
| Vrstica 3: | Vrstica 3: | ||
<latex>F^\prime (t)\, = \,f(t).</latex> | <latex>F^\prime (t)\, = \,f(t).</latex> | ||
| - | Odvajanje in integriranje sta si ''inverzni'' operaciji | + | Odvajanje in integriranje sta si ''inverzni'' operaciji, kot sta si inverzni naprimer potenciranje in korenjenje. Ko enkrat znamo katerokoli število (''x'') kvadrirati, se lotimo korenjenja: da iščemo tisto število ''X'', katerega kvadrat je ''x''. In nekaj podobnega je tudi z odvajanjem in integriranjem. Ko imamo na zalogi dovolj bogate izkušnje z odvodi, se lotimo tudi nedoločenih integralov funkcij<ref>Pri praktični uporabi infinitezimalnega računa se pokaže, da je funkcij, katerim lahko najdemo tiste, katerih odvodi so, neprimerno manj, kot tistih, katerim takšnih nikakor ne uspemo najti. V tem primeru določen in nedoločen integral nista povezana, saj nedoločenega kratkomalo ni. Ker pa je naša naloga ovrednotiti predvsem določen integral, nedoločen je temu le v pomoč, ostaja na voljo vrsta numeričnih poti oziroma približkov določenega integrala, ki se opirajo na vsoti ''S<sub>n</sub>'', ''Z<sub>n</sub>'' ali katerokoli drugo, ki je njima blizu.</ref>. |
| - | == Potenčna funkcija | + | == Potenčna funkcija == |
| - | Odvoda konstantne in linearne funkcije smo že osvetlili | + | Odvoda konstantne in linearne funkcije smo že osvetlili. Naslednja naj bo morda kar funkcija ''f''(''t'') = ''t''<sup>3</sup>, njen odvod najdemo po definiciji: |
<latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,= \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{(t\, +\, \Delta t)}^3} \,- \,{t^3}}{\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{t^3}\, +\, 3{t^2}\Delta t \,+\, 3t{{(\Delta t)}^2}\, +\, {{(\Delta t)}^3} \,-\, {t^3}}{\Delta t}\, =\, </latex> | <latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,= \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{(t\, +\, \Delta t)}^3} \,- \,{t^3}}{\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{t^3}\, +\, 3{t^2}\Delta t \,+\, 3t{{(\Delta t)}^2}\, +\, {{(\Delta t)}^3} \,-\, {t^3}}{\Delta t}\, =\, </latex> | ||
| Vrstica 18: | Vrstica 18: | ||
<latex>\frac{{\rm{d}}f}{{\rm{d}}t} \,=\, f^\prime \, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,= \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t^2}\, +\, 3t\Delta t \,+\, {{(\Delta t)}^2}} \right)\, =\, 3{t^2}.</latex> | <latex>\frac{{\rm{d}}f}{{\rm{d}}t} \,=\, f^\prime \, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,= \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t^2}\, +\, 3t\Delta t \,+\, {{(\Delta t)}^2}} \right)\, =\, 3{t^2}.</latex> | ||
| - | Odvod funkcije ''t''<sup>3</sup> je funkcija 3''t''<sup>2</sup> | + | Odvod funkcije ''t''<sup>3</sup> je funkcija 3''t''<sup>2</sup>, na podoben način bi izvedli odvod potenčne funkcije ''n''-te stopnje. Dobili bi: |
<latex>{f(t) \,=\, {t^n}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow {\rm{ }}\,\,\,\,\,f^\prime (t) \,=\, \left( {t^n} \right)^\prime \, =\, n{t^{n \,-\, 1}}.}</latex> | <latex>{f(t) \,=\, {t^n}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow {\rm{ }}\,\,\,\,\,f^\prime (t) \,=\, \left( {t^n} \right)^\prime \, =\, n{t^{n \,-\, 1}}.}</latex> | ||
| - | Pravilo je: | + | Pravilo je: Eksponent potenčne funkcije se zmanjša za ena, prvotni pa se kot multiplikator seli pred novo potenčno funkcijo. Povsem enako pravilo velja tudi pri funkcijah necelih eksponentov. |
Sedaj pa še nedoločen integral oziroma ''F''(''t'') funkcije ''f''(''t'') = ''t''<sup>3</sup>. Funkcija ''F''(''t'') je enaka vsoti četrtine potenčne funkcije četrte stopnje in poljubne konstante: | Sedaj pa še nedoločen integral oziroma ''F''(''t'') funkcije ''f''(''t'') = ''t''<sup>3</sup>. Funkcija ''F''(''t'') je enaka vsoti četrtine potenčne funkcije četrte stopnje in poljubne konstante: | ||
| - | <latex>f(t) \,= \,{t^3}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}F(t) \,=\, \int {f(t)} {\rm{d}}t \,=\, \int {t^3} {\rm{d}}t\, =\, \frac{t^4}{4}\, +\,C\,\,,\,\,\,\,\,{\rm{ saj je}}</latex> | + | <latex>f(t) \,= \,{t^3}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}F(t) \,=\, \int {f(t)} {\rm{d}}t \,=\, \int {t^3} {\rm{d}}t\, =\, \frac{t^4}{4}\, +\,C\,\,,\,\,\,\,\,{\rm{ saj \,je}}</latex> |
<latex>F^\prime (t)\, =\, \left( {\frac{t^4}{4}\, +\, C} \right)^\prime \, =\, \frac{1}{4}\left( {t^4} \right)^\prime\, +\,C^\prime \,= \,\frac{1}{4}\left( {4{t^3}} \right) \,+ \,0 \,= \,{t^3}.</latex> | <latex>F^\prime (t)\, =\, \left( {\frac{t^4}{4}\, +\, C} \right)^\prime \, =\, \frac{1}{4}\left( {t^4} \right)^\prime\, +\,C^\prime \,= \,\frac{1}{4}\left( {4{t^3}} \right) \,+ \,0 \,= \,{t^3}.</latex> | ||
| Vrstica 32: | Vrstica 32: | ||
Splošno pravilo je: | Splošno pravilo je: | ||
| - | <latex>{f(t) \,=\, {t^n}\,\, | + | <latex>{f(t) \,=\, {t^n}\,\,,\,\,\,\,n\, \ne \, - 1{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}F(t) \,= \,\int{t^n} {\rm{d}}t \,=\, \frac{t^{n + 1}}{n\, + \,1} \,+\, C.}</latex> |
| - | Zgled 1 | + | |
| - | V nekem časovnem intervalu določa tok skozi tuljavo induktivnosti ''L'' izraz ''i'' = ''at''<sup>2</sup> - ''bt'' + ''c''. Izrazimo napetost na tuljavi | + | '''Zgled 1''' |
| + | V nekem časovnem intervalu določa tok skozi tuljavo induktivnosti ''L'' izraz ''i'' = ''at''<sup>2</sup> - ''bt'' + ''c''. Izrazimo napetost na tuljavi. ⇒ Izhajamo iz enačbe tuljave: | ||
<latex>u\, =\, L\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Li^\prime \, =\, L(a{t^2}\, -\, bt\, +\, c)^\prime \, =\, L(2at \,-\, b).</latex> | <latex>u\, =\, L\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Li^\prime \, =\, L(a{t^2}\, -\, bt\, +\, c)^\prime \, =\, L(2at \,-\, b).</latex> | ||
| - | Zgled 2. | + | |
| - | Med časoma ''t''<sub>1</sub> in ''t''<sub>2</sub> podaja tok skozi upor upornosti ''R'' izraz ''i'' = ''at'' - ''b''. Izrazimo množino toplote med tema časoma | + | '''Zgled 2.''' |
| + | Med časoma ''t''<sub>1</sub> in ''t''<sub>2</sub> podaja tok skozi upor upornosti ''R'' izraz ''i'' = ''at'' - ''b''. Izrazimo množino toplote med tema časoma. ⇒ Sproščeno toploto določa integral moči ''p'' = ''Ri''<sup>2</sup>: | ||
<latex>\int\limits_{t_1}^{t_2} {p{\rm{d}}t} \, =\, \int\limits_{t_1}^{t_2} {R{i^2}{\rm{d}}t}\, =\, R\int\limits_{t_1}^{t_2} {{{\left( {at \,- \,b} \right)}^2}{\rm{d}}t} \, =\, R\int\limits_{t_1}^{t_2} {\left( {{a^2}{t^2} \,- \,2abt \,+ \,{b^2}} \right){\rm{d}}t} \, =\, </latex> | <latex>\int\limits_{t_1}^{t_2} {p{\rm{d}}t} \, =\, \int\limits_{t_1}^{t_2} {R{i^2}{\rm{d}}t}\, =\, R\int\limits_{t_1}^{t_2} {{{\left( {at \,- \,b} \right)}^2}{\rm{d}}t} \, =\, R\int\limits_{t_1}^{t_2} {\left( {{a^2}{t^2} \,- \,2abt \,+ \,{b^2}} \right){\rm{d}}t} \, =\, </latex> | ||
| Vrstica 47: | Vrstica 49: | ||
| - | == Harmonična funkcija | + | == Harmonična funkcija == |
Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takole<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\, =\, 1.</latex></ref>: | Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takole<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\, =\, 1.</latex></ref>: | ||
| Vrstica 69: | Vrstica 71: | ||
<latex>f(t)\, =\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}f^\prime (t)\, =\, - \omega \sin (\omega t\, +\, \beta ).</latex> | <latex>f(t)\, =\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}f^\prime (t)\, =\, - \omega \sin (\omega t\, +\, \beta ).</latex> | ||
| - | Iz odvodov razberemo pravili | + | Iz odvodov razberemo pravili. Odvod sinusne je kosinusna funkcija in odvod kosinusne je negativna sinusna funkcija. Pri odvodih se konstanta ''ω'' prenese iz argumenta v multiplikator s funkcijo. Za harmonični funkciji lahko brž najdemo še nedoločena integrala: |
<latex>g(t)\, =\, \sin (\omega t\,+\, \alpha ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}G{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\sin (\omega t\, +\, \alpha )} {\rm{d}}t \,= \, - {\omega ^{ - 1}}\cos (\omega t \,+\, \alpha ) + {C_1}</latex> | <latex>g(t)\, =\, \sin (\omega t\,+\, \alpha ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}G{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\sin (\omega t\, +\, \alpha )} {\rm{d}}t \,= \, - {\omega ^{ - 1}}\cos (\omega t \,+\, \alpha ) + {C_1}</latex> | ||
| Vrstica 75: | Vrstica 77: | ||
<latex>f(t) \,=\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}F{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\cos (\omega t\, +\, \beta )} {\rm{d}}t \,= \,{\omega ^{ - 1}}\sin (\omega t\, +\, \beta )\, +\, {C_2}.</latex> | <latex>f(t) \,=\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}F{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\cos (\omega t\, +\, \beta )} {\rm{d}}t \,= \,{\omega ^{ - 1}}\sin (\omega t\, +\, \beta )\, +\, {C_2}.</latex> | ||
| - | '''Zgled 3 | + | |
| - | Pri analizi harmonično vzbujanih reaktivnih elementov smo ugotovili, da je moč dotekanja energije v njih harmonična časovna funkcija, katere amplituda ustreza jalovi moči ''Q''. Trenutno moč ''p''(''t'') naj določa izraz ''Q''sin(2''ωt''), v katerem je ''ω'' krožna frekvenca toka oziroma napetosti. V prvi četrtini periode toka (napetosti) je moč pozitivna in element se polni, drugo četrtino periode se element prazni itn. V trenutku ''t''<sub>0</sub> = 0 s naj | + | '''Zgled 3''' |
| + | Pri analizi harmonično vzbujanih reaktivnih elementov smo ugotovili, da je moč dotekanja energije v njih harmonična časovna funkcija, katere amplituda ustreza jalovi moči ''Q''. Trenutno moč ''p''(''t'') naj določa izraz ''Q''sin(2''ωt''), v katerem je ''ω'' krožna frekvenca toka oziroma napetosti. V prvi četrtini periode toka (napetosti) je moč pozitivna in element se polni, drugo četrtino periode se element prazni itn. V trenutku ''t''<sub>0</sub> = 0 s naj bo element brez energije, ''W''(''t''<sub>0</sub>) = 0 J. Določimo energijo v elementu v kasnejšem času ''t''<sub>1</sub>. ⇒ Moč je odvod energije, zato veljajo zveze: | ||
<latex>\frac{{\rm{d}}W(t)}{{\rm{d}}t}\, = \,p(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}W(t) \,=\, \int {p(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}W({t_1}) \,=\, W({t_0})\, +\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \, =\, {\rm{ }}</latex> | <latex>\frac{{\rm{d}}W(t)}{{\rm{d}}t}\, = \,p(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}W(t) \,=\, \int {p(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}W({t_1}) \,=\, W({t_0})\, +\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \, =\, {\rm{ }}</latex> | ||
| Vrstica 82: | Vrstica 85: | ||
<latex>\int\limits_0^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \,=\, \int\limits_0^{t_1} {Q\sin (2\omega t){\rm{d}}t}\, =\, Q\left( { - \frac{\cos (2\omega t)}{2\omega }} \right)_0^{t_1} \,=\, \frac{Q}{2\omega }\left( {1 \,-\, \cos (2\omega {t_1})} \right).</latex> | <latex>\int\limits_0^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \,=\, \int\limits_0^{t_1} {Q\sin (2\omega t){\rm{d}}t}\, =\, Q\left( { - \frac{\cos (2\omega t)}{2\omega }} \right)_0^{t_1} \,=\, \frac{Q}{2\omega }\left( {1 \,-\, \cos (2\omega {t_1})} \right).</latex> | ||
| - | Največja energija je v elementu takrat, ko ima kosinusna funkcija vrednost -1; enaka je ''Q'' / ''ω''. Poprečna energija je polovica tega, torej ''Q'' / 2''ω''. Če ima tuljava jalovo moč 2 kvar, bo pri 50 Hz poprečna energija v njej 3,18 J, največja pa 6,36 J. Slednja je sicer majhna, vendar se moramo zavedati, da je v eni sekundi pride ali odide | + | Največja energija je v elementu takrat, ko ima kosinusna funkcija vrednost -1; enaka je ''Q'' / ''ω''. Poprečna energija je polovica tega, torej ''Q'' / 2''ω''. Če ima tuljava jalovo moč 2 kvar, bo pri 50 Hz poprečna energija v njej 3,18 J, največja pa 6,36 J. Slednja je sicer majhna, vendar se moramo zavedati, da je v eni sekundi pride ali odide stokrat toliko. |
| - | == Eksponentna funkcija | + | == Eksponentna funkcija == |
Zapisali jo bomo v obliki | Zapisali jo bomo v obliki | ||
| Vrstica 91: | Vrstica 94: | ||
<latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}.</latex> | <latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}.</latex> | ||
| - | Matematična funkcija | + | Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času ''t'' ima konstanta ''a'' enoto s<sup>-1</sup>. Nekaj podobnega smo zasledili pri argumentu (kotu ''ωt'') harmonične funkcije. Poiščimo odvod eksponentne funkcije<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {(1 + s)^{1/s}} \,=\, \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left( {1 + 1/p} |
\right)^p} \,=\, 1</latex></ref>: | \right)^p} \,=\, 1</latex></ref>: | ||
| Vrstica 104: | Vrstica 107: | ||
kar končno da: | kar končno da: | ||
| - | <latex>h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}</latex> | + | <latex>h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}.</latex> |
Posebnost eksponentne funkcije je v tem, da se odvod in integral izražata z njo samo: | Posebnost eksponentne funkcije je v tem, da se odvod in integral izražata z njo samo: | ||
| Vrstica 110: | Vrstica 113: | ||
<latex>{h(t) \,=\, {\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}H{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}} {\rm{d}}t\, =\, {a^{ - 1}}{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}\, +\, C.}</latex> | <latex>{h(t) \,=\, {\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}H{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}} {\rm{d}}t\, =\, {a^{ - 1}}{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}\, +\, C.}</latex> | ||
| - | '''Zgled 4 | + | |
| - | Polnilni tok kondenzatorja, ki je ob ''t''<sub>0</sub> = 0 prazen, je ''i'' = 10 mA.e<sup>-t / 2 s</sup>; ''Q''(''t''<sub>0</sub>) = 0 C. Ob ''t''<sub>0</sub> = 0 je jakost toka 10 mA, po dveh sekundah 10 mA / e, po štirih 10 mA / e<sup>2</sup>, po šestih 10 mA / e<sup>3</sup>, po 10 s pa komaj še 10 mA / e<sup>5</sup> ≅ 0,067 mA, kar ustreza komaj 2/3 % začetnega toka. Izračunajmo naboj, ki priteče na ploščo do 10 sekunde | + | '''Zgled 4''' |
| + | Polnilni tok kondenzatorja, ki je ob ''t''<sub>0</sub> = 0 prazen, je ''i'' = 10 mA.e<sup>-t / 2 s</sup>; ''Q''(''t''<sub>0</sub>) = 0 C. Ob ''t''<sub>0</sub> = 0 je jakost toka 10 mA, po dveh sekundah 10 mA / e, po štirih 10 mA / e<sup>2</sup>, po šestih 10 mA / e<sup>3</sup>, po 10 s pa komaj še 10 mA / e<sup>5</sup> ≅ 0,067 mA, kar ustreza komaj 2/3 % začetnega toka. Izračunajmo naboj, ki priteče na ploščo do 10 sekunde. ⇒ Račun je podoben prejšnjemu. Tok je odvod naboja: | ||
<latex>\frac{{\rm{d}}Q(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, i(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}Q(t)\, =\, \int {i(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Q({t_1}) \,=\, Q({t_0}) \,+\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {i(t){\rm{d}}t} \, =\, </latex> | <latex>\frac{{\rm{d}}Q(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, i(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}Q(t)\, =\, \int {i(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Q({t_1}) \,=\, Q({t_0}) \,+\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {i(t){\rm{d}}t} \, =\, </latex> | ||
| Vrstica 118: | Vrstica 122: | ||
Po zelo (zelo) dolgem času bo naboj dosegel vrednost 20 mC. | Po zelo (zelo) dolgem času bo naboj dosegel vrednost 20 mC. | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
Redakcija: 09:40, 8. junij 2010
Iskanje nedoločenega integrala funkcije f ustreza poizvedovanju po tisti funkciji F, katere odvod je funkcija f:
Odvajanje in integriranje sta si inverzni operaciji, kot sta si inverzni naprimer potenciranje in korenjenje. Ko enkrat znamo katerokoli število (x) kvadrirati, se lotimo korenjenja: da iščemo tisto število X, katerega kvadrat je x. In nekaj podobnega je tudi z odvajanjem in integriranjem. Ko imamo na zalogi dovolj bogate izkušnje z odvodi, se lotimo tudi nedoločenih integralov funkcij[1].
Potenčna funkcija
Odvoda konstantne in linearne funkcije smo že osvetlili. Naslednja naj bo morda kar funkcija f(t) = t3, njen odvod najdemo po definiciji:
Ko Δt stremi k nič, se zadnja dva sumanda manjšata in postajata neznatna do prvega, zato je:
Odvod funkcije t3 je funkcija 3t2, na podoben način bi izvedli odvod potenčne funkcije n-te stopnje. Dobili bi:
Pravilo je: Eksponent potenčne funkcije se zmanjša za ena, prvotni pa se kot multiplikator seli pred novo potenčno funkcijo. Povsem enako pravilo velja tudi pri funkcijah necelih eksponentov.
Sedaj pa še nedoločen integral oziroma F(t) funkcije f(t) = t3. Funkcija F(t) je enaka vsoti četrtine potenčne funkcije četrte stopnje in poljubne konstante:
Splošno pravilo je:
Zgled 1
V nekem časovnem intervalu določa tok skozi tuljavo induktivnosti L izraz i = at2 - bt + c. Izrazimo napetost na tuljavi. ⇒ Izhajamo iz enačbe tuljave:
Zgled 2.
Med časoma t1 in t2 podaja tok skozi upor upornosti R izraz i = at - b. Izrazimo množino toplote med tema časoma. ⇒ Sproščeno toploto določa integral moči p = Ri2:
Harmonična funkcija
Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takole[2]:
Če bi podobno postopali tudi pri kosinusni funkciji, bi dobili:
Iz odvodov razberemo pravili. Odvod sinusne je kosinusna funkcija in odvod kosinusne je negativna sinusna funkcija. Pri odvodih se konstanta ω prenese iz argumenta v multiplikator s funkcijo. Za harmonični funkciji lahko brž najdemo še nedoločena integrala:
Zgled 3
Pri analizi harmonično vzbujanih reaktivnih elementov smo ugotovili, da je moč dotekanja energije v njih harmonična časovna funkcija, katere amplituda ustreza jalovi moči Q. Trenutno moč p(t) naj določa izraz Qsin(2ωt), v katerem je ω krožna frekvenca toka oziroma napetosti. V prvi četrtini periode toka (napetosti) je moč pozitivna in element se polni, drugo četrtino periode se element prazni itn. V trenutku t0 = 0 s naj bo element brez energije, W(t0) = 0 J. Določimo energijo v elementu v kasnejšem času t1. ⇒ Moč je odvod energije, zato veljajo zveze:
Največja energija je v elementu takrat, ko ima kosinusna funkcija vrednost -1; enaka je Q / ω. Poprečna energija je polovica tega, torej Q / 2ω. Če ima tuljava jalovo moč 2 kvar, bo pri 50 Hz poprečna energija v njej 3,18 J, največja pa 6,36 J. Slednja je sicer majhna, vendar se moramo zavedati, da je v eni sekundi pride ali odide stokrat toliko.
Eksponentna funkcija
Zapisali jo bomo v obliki
Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času t ima konstanta a enoto s-1. Nekaj podobnega smo zasledili pri argumentu (kotu ωt) harmonične funkcije. Poiščimo odvod eksponentne funkcije[3]:
Limitiranje uženemo z vpeljavo spremenljivke s,
kar končno da:
Posebnost eksponentne funkcije je v tem, da se odvod in integral izražata z njo samo:
Zgled 4
Polnilni tok kondenzatorja, ki je ob t0 = 0 prazen, je i = 10 mA.e-t / 2 s; Q(t0) = 0 C. Ob t0 = 0 je jakost toka 10 mA, po dveh sekundah 10 mA / e, po štirih 10 mA / e2, po šestih 10 mA / e3, po 10 s pa komaj še 10 mA / e5 ≅ 0,067 mA, kar ustreza komaj 2/3 % začetnega toka. Izračunajmo naboj, ki priteče na ploščo do 10 sekunde. ⇒ Račun je podoben prejšnjemu. Tok je odvod naboja:
Po zelo (zelo) dolgem času bo naboj dosegel vrednost 20 mC.
Opombe
- ↑ Pri praktični uporabi infinitezimalnega računa se pokaže, da je funkcij, katerim lahko najdemo tiste, katerih odvodi so, neprimerno manj, kot tistih, katerim takšnih nikakor ne uspemo najti. V tem primeru določen in nedoločen integral nista povezana, saj nedoločenega kratkomalo ni. Ker pa je naša naloga ovrednotiti predvsem določen integral, nedoločen je temu le v pomoč, ostaja na voljo vrsta numeričnih poti oziroma približkov določenega integrala, ki se opirajo na vsoti Sn, Zn ali katerokoli drugo, ki je njima blizu.
- ↑ Iz matematike vemo, da je
- ↑ Iz matematike vemo, da je
Podpoglavja:
 5.6 Zveza med določenim in nedoločenim integralom
| 5.7.1 Potenčna funkcija
|
