e
ELEKTROTEHNIKA
plus

Iz e-ELEKTROTEHNIKA plus

(Primerjava redakcij)
Skoči na: navigacija, iskanje
 
(3 intermediate revisions not shown)
Vrstica 1: Vrstica 1:
-
Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.  
+
[[Slika:eele_slika_visji_095.svg‎|thumb|Slika 95: Kondenzatorjevo polnilno vezje.]]
 +
[[Slika:eele_slika_visji_096.svg‎|thumb|Slika 96: Časovni diagrami polnilnega toka in napetosti na uporu ter kondenzatorju.]]
 +
Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 95). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.  
 +
 
Povedano prelevimo v enačbe. Napišimo zančno enačbo za trenutek ''t'' &gt; ''t''<sub>0</sub> in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:
Povedano prelevimo v enačbe. Napišimo zančno enačbo za trenutek ''t'' &gt; ''t''<sub>0</sub> in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:
 +
<latex>t\,\, \textgreater \,\,{t_0}:{\rm{ }} -\, U\, +\, {u_R}\, + \,{u_C}\, = \,0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}{u_R}\, =\, Ri{\rm{\,\,\,\,\,  ter  \,\,\,\,\,}}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri \,+\, {u_C} \,= \,0.</latex>
<latex>t\,\, \textgreater \,\,{t_0}:{\rm{ }} -\, U\, +\, {u_R}\, + \,{u_C}\, = \,0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}{u_R}\, =\, Ri{\rm{\,\,\,\,\,  ter  \,\,\,\,\,}}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri \,+\, {u_C} \,= \,0.</latex>
 +
Odvajajmo napetostno enačbo (odvod napetosti ''U'' enosmernega vira je enak nič, odvod toka je d''i'' / d''t'' in odvod napetosti kondenzatorja je d''u<sub>C</sub>'' / d''t''):
Odvajajmo napetostno enačbo (odvod napetosti ''U'' enosmernega vira je enak nič, odvod toka je d''i'' / d''t'' in odvod napetosti kondenzatorja je d''u<sub>C</sub>'' / d''t''):
 +
<latex>R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t} \,+\, \frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{i}{C}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>
<latex>R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t} \,+\, \frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{i}{C}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>
 +
Produkt ''RC'' dimenzijsko ustreza sekundi, označimo ga s ''&tau;'' in nadaljujmo:
Produkt ''RC'' dimenzijsko ustreza sekundi, označimo ga s ''&tau;'' in nadaljujmo:
 +
<latex>RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}\tau \, =\, RC{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau \,\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>
<latex>RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}\tau \, =\, RC{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau \,\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>
 +
Enačba sporoča, da je tok funkcija, katere odvod je sorazmeren njej sami. To lastnost pa ima le eksponentna funkcija. Najdemo jo v eksponentni funkciji, multiplicirani s konstanto:
Enačba sporoča, da je tok funkcija, katere odvod je sorazmeren njej sami. To lastnost pa ima le eksponentna funkcija. Najdemo jo v eksponentni funkciji, multiplicirani s konstanto:
 +
<latex>i \,=\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Aa{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{  }}Aa\tau {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, +\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{  }}a\tau \, +\, 1\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\, =\,  - 1/\tau .</latex>
<latex>i \,=\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Aa{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{  }}Aa\tau {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, +\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{  }}a\tau \, +\, 1\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\, =\,  - 1/\tau .</latex>
 +
Eksponent funkcije je določen, manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,
Eksponent funkcije je določen, manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,
 +
<latex>t\, =\, {t_0} \,+\, 0\, =\,  +\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri( + 0) \,+\, \underbrace {{u_C}( + 0)}_0 \,=\,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0)\, =\, U/R,</latex>
<latex>t\, =\, {t_0} \,+\, 0\, =\,  +\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri( + 0) \,+\, \underbrace {{u_C}( + 0)}_0 \,=\,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0)\, =\, U/R,</latex>
 +
ki določa tudi iskano konstanto:
ki določa tudi iskano konstanto:
 +
<latex>i \,= \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0) \,=\, U/R\, = \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 0/\tau }} \,=\, A{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}A\, = \,U/R.</latex>
<latex>i \,= \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0) \,=\, U/R\, = \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 0/\tau }} \,=\, A{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}A\, = \,U/R.</latex>
 +
Rešitev je tu. Tok določa usihajoča časovna funkcija:
Rešitev je tu. Tok določa usihajoča časovna funkcija:
 +
<latex>{i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.}</latex>
<latex>{i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.}</latex>
 +
Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost ''U'' / ''R'', od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času ''t''<sub>1</sub> = ''&tau;'' je vrednost polnilnega toka (''U'' / ''R'') e<sup>-1</sup> &kong; 0,3678 (''U'' / ''R'') oziroma 37 % začetnega toka, ob času ''t''<sub>2</sub> = 2''&tau;''  še (''U'' / ''R'') e<sup>-2</sup> = 0,1353 (''U'' / ''R'') oziroma 14 % začetnega toka, v času ''t''<sub>3</sub> = 3''&tau;'' le še 5 % začetnega toka, v času ''t''<sub>4</sub> = 4''&tau;'' komaj še 1,8 % začetnega toka in v času ''t''<sub>5</sub> = 5''&tau;''  le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta ''&tau;'' določa torej dinamiko usihanja toka, imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar ''RC'' konstanta<ref>Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku ''t''<sub>1</sub> seka abscisno os v točki ''t''<sub>1</sub> + ''&tau;''.</ref>. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %.  
Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost ''U'' / ''R'', od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času ''t''<sub>1</sub> = ''&tau;'' je vrednost polnilnega toka (''U'' / ''R'') e<sup>-1</sup> &kong; 0,3678 (''U'' / ''R'') oziroma 37 % začetnega toka, ob času ''t''<sub>2</sub> = 2''&tau;''  še (''U'' / ''R'') e<sup>-2</sup> = 0,1353 (''U'' / ''R'') oziroma 14 % začetnega toka, v času ''t''<sub>3</sub> = 3''&tau;'' le še 5 % začetnega toka, v času ''t''<sub>4</sub> = 4''&tau;'' komaj še 1,8 % začetnega toka in v času ''t''<sub>5</sub> = 5''&tau;''  le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta ''&tau;'' določa torej dinamiko usihanja toka, imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar ''RC'' konstanta<ref>Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku ''t''<sub>1</sub> seka abscisno os v točki ''t''<sub>1</sub> + ''&tau;''.</ref>. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %.  
-
Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):
+
 
 +
Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 96):
 +
 
<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>
<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>
 +
Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 % ... in v času 5''&tau;'' že 99,3 % končne napetosti ''U''. Sproti se v njem kopiči tudi energija:
Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 % ... in v času 5''&tau;'' že 99,3 % končne napetosti ''U''. Sproti se v njem kopiči tudi energija:
 +
<latex>{W_{\rm{e}}}(t) \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{u^2}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}{\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{.}}</latex>
<latex>{W_{\rm{e}}}(t) \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{u^2}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}{\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{.}}</latex>
 +
V času prve časovne konstante je v kondenzatorju 40 % končne energije, v času dveh časovnih konstant naraste na 75 % in v petih časovnih konstantah doseže praktično 99 % končne energije. Med polnjenjem kondenzatorja se v uporu sprošča toplota z močjo ''Ri''<sup>2</sup>:
V času prve časovne konstante je v kondenzatorju 40 % končne energije, v času dveh časovnih konstant naraste na 75 % in v petih časovnih konstantah doseže praktično 99 % končne energije. Med polnjenjem kondenzatorja se v uporu sprošča toplota z močjo ''Ri''<sup>2</sup>:
 +
<latex>\frac{{\rm{d}}{W_{\rm{t}}}(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, {p_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\int {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\,  = \,{W_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{W_{\rm{t}}}({t_1}) \,- \,{W_{\rm{t}}}({t_0}) \,= \,\int\limits_{t_0}^{t_1} {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\,  = </latex>
<latex>\frac{{\rm{d}}{W_{\rm{t}}}(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, {p_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\int {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\,  = \,{W_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{W_{\rm{t}}}({t_1}) \,- \,{W_{\rm{t}}}({t_0}) \,= \,\int\limits_{t_0}^{t_1} {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\,  = </latex>
 +
<latex>R\int\limits_{t_0}^{t_1} {{i^2}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\int\limits_0^{t_1} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{2}}t{\rm{/}}\tau }}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - 2t{\rm{/}}\tau }}{2/\tau }} \right)_0^{t_1}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( { - {{\rm{e}}^{{\rm{ - 2t/}}\tau }}} \right)_0^{t_1} \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( {1 \,- \,{{\rm{e}}^{ - 2{t_1}{\rm{/}}\tau }}} \right).</latex>
<latex>R\int\limits_{t_0}^{t_1} {{i^2}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\int\limits_0^{t_1} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{2}}t{\rm{/}}\tau }}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - 2t{\rm{/}}\tau }}{2/\tau }} \right)_0^{t_1}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( { - {{\rm{e}}^{{\rm{ - 2t/}}\tau }}} \right)_0^{t_1} \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( {1 \,- \,{{\rm{e}}^{ - 2{t_1}{\rm{/}}\tau }}} \right).</latex>
 +
Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa ''t''<sub>1</sub>. Ko bo ''t''<sub>1</sub> nekajkratnik ''&tau;'', bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej ''CU''<sup>2</sup> / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (ne glede na upornost ''R''); izkoristek polnjenja je 50 %.
Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa ''t''<sub>1</sub>. Ko bo ''t''<sub>1</sub> nekajkratnik ''&tau;'', bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej ''CU''<sup>2</sup> / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (ne glede na upornost ''R''); izkoristek polnjenja je 50 %.
Vrstica 50: Vrstica 75:
'''Zgled 1'''
'''Zgled 1'''
Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 &mu;F; predupor ima upornost 1 k&Omega;. Ovrednotimo prehodni pojav. &rArr; Časovna konstanta ''&tau;'' = ''RC'' je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je ''U'' / ''R'' = 0,5 A, v nadaljevanju pa je
Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 &mu;F; predupor ima upornost 1 k&Omega;. Ovrednotimo prehodni pojav. &rArr; Časovna konstanta ''&tau;'' = ''RC'' je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je ''U'' / ''R'' = 0,5 A, v nadaljevanju pa je
 +
<latex>i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}\, = \,0,5{\rm{ \,A}} \,\cdot\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/0,1{\rm{ s}}}}\, = \,0,5{\rm{\, A}}\, \cdot \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}.</latex>
<latex>i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}\, = \,0,5{\rm{ \,A}} \,\cdot\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/0,1{\rm{ s}}}}\, = \,0,5{\rm{\, A}}\, \cdot \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}.</latex>
 +
V času časovne konstante je vrednost toka 185 mA, po petih časovnih konstantah pa le še 3,5 mA. Napetost na kondenzatorju določa funkcija
V času časovne konstante je vrednost toka 185 mA, po petih časovnih konstantah pa le še 3,5 mA. Napetost na kondenzatorju določa funkcija
 +
<latex>{u_C}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)\, =\, 500{\rm{ V}}\, \cdot\, \left( {1\, -\,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}} \right).</latex>
<latex>{u_C}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)\, =\, 500{\rm{ V}}\, \cdot\, \left( {1\, -\,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}} \right).</latex>
 +
V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.
V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.

Trenutna redakcija s časom 13:58, 15. avgust 2010

Slika 95: Kondenzatorjevo polnilno vezje.
Slika 96: Časovni diagrami polnilnega toka in napetosti na uporu ter kondenzatorju.

Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 95). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob t0 = 0 s, prazen, da je uC(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, i = U / R, saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost uC, zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, i = (U - uC) / R. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do U ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.


Povedano prelevimo v enačbe. Napišimo zančno enačbo za trenutek t > t0 in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:



Odvajajmo napetostno enačbo (odvod napetosti U enosmernega vira je enak nič, odvod toka je di / dt in odvod napetosti kondenzatorja je duC / dt):



Produkt RC dimenzijsko ustreza sekundi, označimo ga s τ in nadaljujmo:



Enačba sporoča, da je tok funkcija, katere odvod je sorazmeren njej sami. To lastnost pa ima le eksponentna funkcija. Najdemo jo v eksponentni funkciji, multiplicirani s konstanto:



Eksponent funkcije je določen, manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,



ki določa tudi iskano konstanto:



Rešitev je tu. Tok določa usihajoča časovna funkcija:



Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost U / R, od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času t1 = τ je vrednost polnilnega toka (U / R) e-1 &kong; 0,3678 (U / R) oziroma 37 % začetnega toka, ob času t2 = 2τ še (U / R) e-2 = 0,1353 (U / R) oziroma 14 % začetnega toka, v času t3 = 3τ le še 5 % začetnega toka, v času t4 = 4τ komaj še 1,8 % začetnega toka in v času t5 = 5τ le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta τ določa torej dinamiko usihanja toka, imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar RC konstanta[1]. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %.


Iz toka i sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 96):



Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 % ... in v času 5τ že 99,3 % končne napetosti U. Sproti se v njem kopiči tudi energija:



V času prve časovne konstante je v kondenzatorju 40 % končne energije, v času dveh časovnih konstant naraste na 75 % in v petih časovnih konstantah doseže praktično 99 % končne energije. Med polnjenjem kondenzatorja se v uporu sprošča toplota z močjo Ri2:




Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa t1. Ko bo t1 nekajkratnik τ, bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej CU2 / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (ne glede na upornost R); izkoristek polnjenja je 50 %.


Zgled 1 Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 μF; predupor ima upornost 1 kΩ. Ovrednotimo prehodni pojav. ⇒ Časovna konstanta τ = RC je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je U / R = 0,5 A, v nadaljevanju pa je



V času časovne konstante je vrednost toka 185 mA, po petih časovnih konstantah pa le še 3,5 mA. Napetost na kondenzatorju določa funkcija



V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.


Opombe

  1. Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku t1 seka abscisno os v točki t1 + τ.


Podpoglavja:


5.7.3 Eksponentna funkcija 5.8.1 Polnjenje kondenzatorja z začetno prednapetostjo

Osebna orodja