5.3 Odvod funkcije

Iz e-ELEKTROTEHNIKA plus

Redakcija: 19:15, 12. julij 2010 (view source) Admin (Pogovor | prispevki) ← Starejša redakcija		Trenutna redakcija s časom 13:15, 15. avgust 2010 (view source) Admin (Pogovor | prispevki)
(4 intermediate revisions not shown)
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	Imejmo časovno funkcijo <latex>f(t)</latex>, ki podaja napetost, morda moč, tok, naboj ali energijo (slika 1). Izberimo bližnja trenutka <latex>t</latex> in <latex>t+\Delta t</latex>. Upati smemo, da si bosta blizu tudi funkcijski vrednosti <latex>f(t)</latex> in <latex>f(t+\Delta t)</latex>. Prirastek <latex>\Delta f=f(t+\Delta t)-f(t)</latex> je pomemben, verjetno pa tudi kvocient <latex>\Delta f/\Delta t</latex>, ki ugotavlja hitrost spreminjanja funkcije <latex>f</latex>. Informacija o njej bo najboljša takrat, ko bo interval <latex>\Delta t</latex> kar najkrajši, ko bo <latex>\Delta t</latex> ''limitiral'' k nič, kar povzema zapis: <latex>\Delta t \to 0</latex>. Če bo tako, se bo nekaj limitnega dogajalo tudi s kvocientom <latex>\Delta f/\Delta t</latex>. Ko se bo manjšal imenovalec <latex>\Delta t</latex>, se bo z njim manjšal tudi števec <latex>\Delta f</latex>, in upamo lahko, da bo k neki vrednosti limitiral tudi njun kvocient. Vrednost, h kateri stremi, imenujemo ''odvod funkcije'' <latex>f</latex> ob času <latex>t</latex>. Odvod pišemo takole:	+	[[Slika:eele_slika_visji_092.svg‎|thumb|Slika 92: K opredelitvi odvoda časovne funkcije v trenutku <latex>t</latex>, ko prirastek <latex>\Delta t</latex> limitira k nič.]]
		+	Imejmo časovno funkcijo <latex>f(t)</latex>, ki podaja napetost, morda moč, tok, naboj ali energijo (slika 92). Izberimo bližnja trenutka <latex>t</latex> in <latex>t+\Delta t</latex>. Upati smemo, da si bosta blizu tudi funkcijski vrednosti <latex>f(t)</latex> in <latex>f(t+\Delta t)</latex>. Prirastek <latex>\Delta f=f(t+\Delta t)-f(t)</latex> je pomemben, verjetno pa tudi kvocient <latex>\Delta f/\Delta t</latex>, ki ugotavlja hitrost spreminjanja funkcije <latex>f</latex>. Informacija o njej bo najboljša takrat, ko bo interval <latex>\Delta t</latex> kar najkrajši, ko bo <latex>\Delta t</latex> ''limitiral'' k nič, kar povzema zapis: <latex>\Delta t \to 0</latex>. Če bo tako, se bo nekaj limitnega dogajalo tudi s kvocientom <latex>\Delta f/\Delta t</latex>. Ko se bo manjšal imenovalec <latex>\Delta t</latex>, se bo z njim manjšal tudi števec <latex>\Delta f</latex>, in upamo lahko, da bo k neki vrednosti limitiral tudi njun kvocient. Vrednost, h kateri stremi, imenujemo ''odvod funkcije'' <latex>f</latex> ob času <latex>t</latex>. Odvod pišemo takole:
Vrstica 5:		Vrstica 6:
-	Znak »<latex>\mathop {\lim }</latex>« je okrajšava za ''limito'', znak razlike »<latex>\Delta</latex>« pa preide v ''diferencialni'' znak »<latex>{\mathrm{d}}</latex>«. Novi, infinitezimalni količini <latex>{\mathrm{d}}t</latex> in <latex>{\mathrm{d}}f</latex> sta ''diferenciala'' neodvisne in odvisne spremenljivke. Ker je odvod funkcije <latex>f</latex> v splošnem tudi funkcija, se za odvod uporablja tudi nekvocientni zapis »''f''&prime;«. Diferencial d''f'' določa torej produkt odvoda ''f''&prime; in diferenciala d''t''.	+	Znak »<latex>\mathop {\lim }</latex>« je okrajšava za ''limito'', znak razlike »<latex>\Delta</latex>« pa preide v ''diferencialni'' znak »<latex>{\mathrm{d}}</latex>«. Novi, infinitezimalni količini <latex>{\mathrm{d}}t</latex> in <latex>{\mathrm{d}}f</latex> sta ''diferenciala'' neodvisne in odvisne spremenljivke. Ker je odvod funkcije <latex>f</latex> v splošnem tudi funkcija, se za odvod uporablja tudi nekvocientni zapis »<latex>f^\prime</latex>«. Diferencial <latex>{\mathrm{d}}f</latex> določa torej produkt odvoda <latex>f^\prime</latex> in diferenciala <latex>{\mathrm{d}}t</latex>.
-	Najpreprostejša je konstantna funkcija: ''g''(''t'') = ''C''. Upodablja jo premica, ki je vzporedna abscisni osi. Pri vsakem intervalu &Delta;''t'' je &Delta;''g'' = 0, odvod konstante je nič. Odvod linearne funkcije ''h''(''t'') = ''kt'' + ''n'' je ''h''&prime; = ''k'', saj je &Delta;''h'' = ''k''&Delta;''t''; o drugih več kasneje. Izpostavimo tudi nekaj lastnosti odvoda, te izhajajo iz definicije: (''af'')&prime; = ''af''&prime; in (''f'' + ''g'')&prime; = ''f''&prime; + ''g''&prime; ter ''f''(''g'')&prime; = ''f''&prime;''g''&prime;.	+	Najpreprostejša je konstantna funkcija: <latex>g(t)=C</latex>. Upodablja jo premica, ki je vzporedna abscisni osi. Pri vsakem intervalu <latex>\Delta t</latex> je <latex>\Delta g=0</latex>, odvod konstante je nič. Odvod linearne funkcije <latex>h(t)=kt+n</latex> je <latex>h^\prime = k</latex>, saj je <latex>\Delta h =k \Delta t</latex>; o drugih več kasneje. Izpostavimo tudi nekaj lastnosti odvoda, te izhajajo iz definicije: <latex>(af)^\prime = af^\prime</latex> in <latex>(f+g)^\prime = f^\prime+g^\prime</latex> ter <latex>f(g)^\prime = f(g^\prime)</latex>.
	{{Hierarchy footer}}		{{Hierarchy footer}}

---

Trenutna redakcija s časom 13:15, 15. avgust 2010

Imejmo časovno funkcijo , ki podaja napetost, morda moč, tok, naboj ali energijo (slika 92). Izberimo bližnja trenutka in . Upati smemo, da si bosta blizu tudi funkcijski vrednosti in . Prirastek je pomemben, verjetno pa tudi kvocient , ki ugotavlja hitrost spreminjanja funkcije . Informacija o njej bo najboljša takrat, ko bo interval kar najkrajši, ko bo limitiral k nič, kar povzema zapis: . Če bo tako, se bo nekaj limitnega dogajalo tudi s kvocientom . Ko se bo manjšal imenovalec , se bo z njim manjšal tudi števec , in upamo lahko, da bo k neki vrednosti limitiral tudi njun kvocient. Vrednost, h kateri stremi, imenujemo odvod funkcije ob času . Odvod pišemo takole:

Znak »« je okrajšava za limito, znak razlike »« pa preide v diferencialni znak »«. Novi, infinitezimalni količini in sta diferenciala neodvisne in odvisne spremenljivke. Ker je odvod funkcije v splošnem tudi funkcija, se za odvod uporablja tudi nekvocientni zapis »«. Diferencial določa torej produkt odvoda in diferenciala .

Najpreprostejša je konstantna funkcija: . Upodablja jo premica, ki je vzporedna abscisni osi. Pri vsakem intervalu je , odvod konstante je nič. Odvod linearne funkcije je , saj je ; o drugih več kasneje. Izpostavimo tudi nekaj lastnosti odvoda, te izhajajo iz definicije: in ter .

Podpoglavja:

• 5.3.1 Časovni odvodi in diferenciali v elektrotehniki

5.2 Kako analizirati prehodni pojav

5.3.1 Časovni odvodi in diferenciali v elektrotehniki