4.1.2.2 Računanje sinusnih napetosti in tokov v eksponentni kompleksni obliki

Iz e-ELEKTROTEHNIKA plus

Algebrska oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da sta iz nje neposredno razvidni delovna in jalova komponenta impedance, prevodnosti, toka ... in značaj jalovih komponent (induktivni, kapacitivni). Omogoča tudi preprosto seštevanje in odštevanje kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov.

Algebrska oblika zapisa kompleksorjev električnih količin je zelo primerna za računanje impedanc in prevodnosti pa tudi napetosti in tokov na osnovi zakonov napetostnih zank in tokovnih vozlišč.

Pri uporabi Ohmovega zakona in računanju moči pa imamo opravka z operacijama množenja in deljenja. Čeprav je tudi v tem primeru možno računati s kompleksorji v algebrski obliki, pa je računanje preprostejše, če uporabimo eksponentno obliko zapisa kompleksorjev toka in napetosti.

Najprej si kompleksor sinusne izmenične količine oglejmo nekoliko podrobneje. Dobimo ga, če kazalec npr. napetosti (slika 3.4.15 a) prenesemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.15 b):

Slika 3.4.15

Na osnovi slike 3.4.15 lahko zapišemo kompleksor U_m v trigonometrični obliki, in sicer:

Če namesto trigonometričnega dela uporabimo enakovredni eksponentni operator e^j(ωt) ^[1], dobimo eksponentno obliko zapisa kompleksorja sinusne napetosti:

Podobno bi lahko naredili s kazalci maksimalnih vrednosti drugih izmeničnih količin. Iz praktičnih razlogov bomo v nadaljevanju, če ne bo drugače zahtevano, namesto z maksimalnimi, računali z efektivnimi vrednostmi izmeničnih količin.

Pri enakih frekvencah napetosti in toka kazalca le-teh v medsebojnem odnosu »mirujeta«, zato lahko kroženje kazalcev »spregledamo« (ωt = 0), tako kot tudi nismo upoštevali začetnih kotov. Če upoštevamo, da po dogovoru postavljamo kazalec oziroma kompleksor napetosti izvora na pozitivno realno os (kot če bi izbrali α_u = 0), položaj kompleksorja zaostajajočega toka pa je s tem določen z negativnim kotom φ, dobimo za računanje obliko:

oziroma

Ker sta v Ohmovem zakonu soudeleženi tudi impedanca in prevodnost, zapišimo v eksponentni obliki tudi kompleksorja teh dveh količin:

in

Eksponentna oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da omogoča preprosto množenje in deljenje kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov, iz rezultatov računanja pa so neposredno razvidne impedance in admitance, maksimalne ali efektivne vrednosti napetosti in tokov ter fazni kot in iz njegovega predznaka značaj jalovih komponent računanih količin.

Primera:

Primer:

1. Med priključnima sponkama vezave na strani 6 je izmenična napetost 1,2 V (slika 3.4.16). Izračunaj toke elementov, napetosti na elementih ter fazni kot med kazalcema napetosti na tuljavi in kondenzatorju.

Rešitev

Slika 3.4.16

Kompleksor impedance sestavljene vezave pretvorimo iz algebrske v eksponencialno obliko:

Tok skozi tuljavo je tok izvora:

^[2]Iz rezultata razberemo, da je efektivna vrednost toka izvora in tuljave 0,745 A in da tok zaostaja za napetostjo izvora za 7,12 °. Račun je res kratek in enostaven.Kompleksor induktivne upornosti jX_L prevedemo iz algebrske oblike v eksponentno:

Napetost na tuljavi je potem:

Kompleksor impedance Z_RC prevedemo v eksponentno obliko:

Napetost na uporu in kondenzatorju je:

Ker je kazalec napetosti U_L za 82,8 º pred kazalcem napetosti izvora (ki leži v vodoravni osi), kazalec napetosti U_C pa za kazalcem U zaostaja za 33,7 º, je kot med njima vsota obeh kotov, torej 116,5 º.Tok skozi upor:

Tok skozi kondenzator:

Geometrična vsota tokov I_R in I_C mora biti seveda enaka toku I_L. Ker sta toka I_R in I_C med seboj pravokotna, lahko to preverimo s Pitagorovim izrekom (upoštevaj zanemarjena decimalna mest
a). Iz znanih kompleksnih vrednosti tokov in napetosti je za podano vezavo zelo preprosto določiti kazalčni diagram. Izberemo le merilo toka in napetosti ter kazalce vrišemo pod danimi koti.