5.8 Izvorno besedilo

Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren. 


Povedano prelevimo v enačbe. Napišimo zančno enačbo za trenutek ''t'' &gt; ''t''<sub>0</sub> in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:


<latex>t\,\, \textgreater \,\,{t_0}:{\rm{ }} -\, U\, +\, {u_R}\, + \,{u_C}\, = \,0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}{u_R}\, =\, Ri{\rm{\,\,\,\,\,  ter  \,\,\,\,\,}}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri \,+\, {u_C} \,= \,0.</latex>


Odvajajmo napetostno enačbo (odvod napetosti ''U'' enosmernega vira je enak nič, odvod toka je d''i'' / d''t'' in odvod napetosti kondenzatorja je d''u<sub>C</sub>'' / d''t''):


<latex>R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t} \,+\, \frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{i}{C}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>


Produkt ''RC'' dimenzijsko ustreza sekundi, označimo ga s ''&tau;'' in nadaljujmo:


<latex>RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}\tau \, =\, RC{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau \,\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>


Enačba sporoča, da je tok funkcija, katere odvod je sorazmeren njej sami. To lastnost pa ima le eksponentna funkcija. Najdemo jo v eksponentni funkciji, multiplicirani s konstanto:


<latex>i \,=\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Aa{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{  }}Aa\tau {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, +\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{  }}a\tau \, +\, 1\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\, =\,  - 1/\tau .</latex>


Eksponent funkcije je določen, manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,


<latex>t\, =\, {t_0} \,+\, 0\, =\,  +\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri( + 0) \,+\, \underbrace {{u_C}( + 0)}_0 \,=\,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0)\, =\, U/R,</latex>


ki določa tudi iskano konstanto:


<latex>i \,= \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0) \,=\, U/R\, = \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 0/\tau }} \,=\, A{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}A\, = \,U/R.</latex>


Rešitev je tu. Tok določa usihajoča časovna funkcija:


<latex>{i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.}</latex>


Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost ''U'' / ''R'', od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času ''t''<sub>1</sub> = ''&tau;'' je vrednost polnilnega toka (''U'' / ''R'') e<sup>-1</sup> &kong; 0,3678 (''U'' / ''R'') oziroma 37 % začetnega toka, ob času ''t''<sub>2</sub> = 2''&tau;''  še (''U'' / ''R'') e<sup>-2</sup> = 0,1353 (''U'' / ''R'') oziroma 14 % začetnega toka, v času ''t''<sub>3</sub> = 3''&tau;'' le še 5 % začetnega toka, v času ''t''<sub>4</sub> = 4''&tau;'' komaj še 1,8 % začetnega toka in v času ''t''<sub>5</sub> = 5''&tau;''  le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta ''&tau;'' določa torej dinamiko usihanja toka, imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar ''RC'' konstanta<ref>Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku ''t''<sub>1</sub> seka abscisno os v točki ''t''<sub>1</sub> + ''&tau;''.</ref>. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %. 


Iz
 toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):

<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>


Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 % ... in v času 5''&tau;'' že 99,3 % končne napetosti ''U''. Sproti se v njem kopiči tudi energija:


<latex>{W_{\rm{e}}}(t) \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{u^2}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}{\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{.}}</latex>


V času prve časovne konstante je v kondenzatorju 40 % končne energije, v času dveh časovnih konstant naraste na 75 % in v petih časovnih konstantah doseže praktično 99 % končne energije. Med polnjenjem kondenzatorja se v uporu sprošča toplota z močjo ''Ri''<sup>2</sup>:


<latex>\frac{{\rm{d}}{W_{\rm{t}}}(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, {p_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\int {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\,  = \,{W_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{W_{\rm{t}}}({t_1}) \,- \,{W_{\rm{t}}}({t_0}) \,= \,\int\limits_{t_0}^{t_1} {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\,  = </latex>


<latex>R\int\limits_{t_0}^{t_1} {{i^2}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\int\limits_0^{t_1} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{2}}t{\rm{/}}\tau }}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - 2t{\rm{/}}\tau }}{2/\tau }} \right)_0^{t_1}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( { - {{\rm{e}}^{{\rm{ - 2t/}}\tau }}} \right)_0^{t_1} \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( {1 \,- \,{{\rm{e}}^{ - 2{t_1}{\rm{/}}\tau }}} \right).</latex>


Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa ''t''<sub>1</sub>. Ko bo ''t''<sub>1</sub> nekajkratnik ''&tau;'', bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej ''CU''<sup>2</sup> / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (ne glede na upornost ''R''); izkoristek polnjenja je 50 %.


'''Zgled 1'''
Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 &mu;F; predupor ima upornost 1 k&Omega;. Ovrednotimo prehodni pojav. &rArr; Časovna konstanta ''&tau;'' = ''RC'' je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je ''U'' / ''R'' = 0,5 A, v nadaljevanju pa je


<latex>i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}\, = \,0,5{\rm{ \,A}} \,\cdot\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/0,1{\rm{ s}}}}\, = \,0,5{\rm{\, A}}\, \cdot \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}.</latex>


V času časovne konstante je vrednost toka 185 mA, po petih časovnih konstantah pa le še 3,5 mA. Napetost na kondenzatorju določa funkcija


<latex>{u_C}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)\, =\, 500{\rm{ V}}\, \cdot\, \left( {1\, -\,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}} \right).</latex>


V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.


<references />

{{Hierarchy footer}}